Подскажите, пожалуйста, если после рождения ребенка получить на себя ДНИ, а потом уехать, могу ли я позже (не важно через какое время, может через год) подать документы на гражданство для себя? Ребенок же точно останется гражданином Аргентины.

Ну по идее имеете право. Но уже тем кто уезжает на долгое время письмо высылаю с известием о том что их пмж отменили.

Право на гражданство сохраняется за вами пожизненно, по крайней мере, пока не поменяют законы. Факт наличия ДНИ для подачи на гражданство не требуется, можно и по прекарии податься, и даже без прекарии у вас не откажутся принять документы.