Подскажите, как правильно поступать с регистрацией, если первую неделю будем проживать в отеле, а потом на 3 недели квартиру снимем?) В отеле, как я понимаю, нас зарегистрируют сами.

На всякий случай уточните у отеля когда будете заселяться. Как будет договор об аренде квартиры - с ним в туристичку.

В отеле должны вас сами регистрировать в туристичке (в отличие от хозяев съёмных квартир), но здесь иногда с этим халтурят. Обязательно уточните у них и пусть покажут вам результат.