Подскажите, это нормально, что агентства запрашивают предоплату за 6 месяцев+депозит+оплата агенства сразу с подписью контракта с агенством и подпись договора с нотариусом ?

Нет. Деньги только после подписи договора и предоставления всех доков.

Я отдавала риелтору своему только после подписания договора, заверения его у нотариуса и получения ключей на руки.

Это более-менее нормально. Единственная причина так делать - если вы хотите уже заехать, а у хозяина нет возможности сразу поехать к нотариусу. В любом случае лучше сразу просить копию ТАПУ и вообще по возможности избегать такой ситуации. Но отмечу, что я сам + коллега подписывали и оплачивали сразу, а к нотариусу ехали только через несколько дней. Все прошло нормально.

Здесь почти все так просят.