Не будет ли проблем при вьезде в Грузию, если билет покупала по российскому заграннику, а выезжать из Израиля и вьезжать в Грузию буду по израильскому паспорту?

В Грузии такой прикол, что Выезжать (показывать на границе) нужно тот же паспорт, по которому въезжали. Что там будет в посадочном - пограничникам ваще все равно

иметь с собой паспорт на который куплен билет

И ещё момент: вылетать из одной страны по одному паспорту, а влетать в другую страну по другому паспорту - это совершенно нормальная практика. Особенно с учётом того, что штампы сейчас половина стран не ставит