Подскажите, пожалуйста: получил студенческую визу в Великобританию для магистратуры, ее срок окончания - 4 месяца после окончания программы обучения.

Для этого надо получить другую визу по окончании обучения. Graduate visa. Она как раз для тех кто отучился и хочет остаться чтоб работу искать и т д и т п

Когда закончите магистратуру, в зависимости от вашего выбора можете 1. пойти учиться дальше (делать PHD, например), тогда вы будете оформлять новую студенческую визу на период обучения или 2. получить Graduate Visa - и пойти работать по Graduate route или просто искать работу.