Скажите, пожалуйста, на ВНЖ по родственникам тоже записываться в посольство в Москве или можно в самой Латвии подаваться ( есть виза сейчас) паспорт забирают на оформление? Нужно будет ждать?

Ждать нужно -- и очень долго, возможно, даже придется выехать. Пусть родственники вместе с вами посмотрят сайт управления по делам гражданства и миграции, там все описано, включая сроки рассмотрения. В Латвии паспорт не забирают.