У моей гражданской жены двое детей, мы четверо хотим полететь в Корею отдыхать. Я прямо сейчас заполняю кету, нужна ваша помощь.

Вашей жене и вам нужны отдельные полноценные кеты, никаких "под вас". Вы можете последовательно перейти из вашей анкеты в новую и заполнить анкету на нее и заплатить потом за вас двоих (20 000 вон). Детей, если им до 17 включительно, может указывать, можете не указывать, хотите в одной анкете, хотите в обеих, можете в обеих анкетах ещё указать друг друга, это не принципиально. на детей не нужна кета.