Когда арендодатель в доме юстиции подтверждает что я у него снимаю квартиру и веду деятельность, это же не прописка? Просто он волнуется и я решил уточнить, чтобы у арендодателя потом не было проблем.

Нет. Но проблемы с налоговой у него все равно могут быть, если он официально не сдает жилье и не платит налоги. Ну и при продаже недвижимости - тоже. Если сдает официально и не планирует продавать, то все нормально.