Скажите, если въезжал в Казахстан из России по российскому паспорту, то отметку въезда в нем не поставили и теперь не могу получить карту Каспий. Как быть? Разрешение на жительство нет возможности получить.

Если вы про внутренний паспорт говорите, то в него и не должны ставить штамп. Карту можно получить только с загранпаспортом, если штампа нет в нем, то заменить его можно уведомлением о проживании.

Покажите распечатку уведомления о прибытии иностранного гражданина, которую сделал владелец недвижимости, либо гостиница, где Вы живёте. Но загран все равно нужен, без него счёт не откроют. Уведомление решает проблему отсутствия в загране штампа о въезде.