По получении нового загранпаспорта нужно ли уведомлять банк, если старый ещё действует какое-то время?

Как хотите но как закончится срок действия - счет будет заблокирован.

Не обязательно, но если новый паспорт на руках и есть возможность обновить данные, то лучше это сделать, чтобы избежать блокировки.