Едем в Белград, владельцы апартаментов, в которых мы планируем остановится на следующую неделю (далее будем искать постоянное жилье) не могут сделать белый картон, мы же можем его сделать самостоятельно и как?

Поищите хостел какой-нибудь. Делать белый картон может гостиница либо собственник жилья. Если нет своей квартиры или нотариально заверенной доверенности от собственника, то не сможете.

Владельцы апартаментов могут и просто обязаны это делать. Если это бизнес, то у них должен быть доступ к е-туриста. Да, апартаменты обязаны собирать с каждого туриста 132 динара туристического налога в сутки. Вы просто спонсируете каких-то аферистов в общем и ещё готовы бегать и искать документ о регистрации по месту жительства фиктивно. Зачем?