Приезжаем в Сербию завтра и будем искать квартиру. Нужно ли сразу делать белый картон или можно через неделю снять квартиру на долгий срок и уже тогда делать белый картон?

Нужно в течение суток. Сделайте сразу там, где будете жить эту неделю. Если это отель, то они сделают автоматически

Да, нужно сделать бк в течение 24 часов после пересечения границы. Сделайте его там, где остановитесь на первое время, потом найдете постоянную квартиру и после первого визарана уже ее владелец вам поможет с оформлением нового