Кто легализовался в Черногории, подскажите, пожалуйста, если человек будет оформлять ВНЖ по трудовому договору, то ему нужен договор аренды либо разрешение от владельца.

Да, в договоре должны быть указаны все, кто собирается проживать в арендуемом жилье. И тогда этот же договор может идти для каждого из этих проживающих при оформлении ВНЖ.