Скажите если новый год наступил. То в этом случае считается все заново дни пребывания? Или надо считать по общему количеству дней моего пребывания в Турции?

По общему. НГ ничего не меняет.

Возможно вы путаете с обнулением срока блокировки ввезеных телефонов. После нового года отсчет блокировки imei начинается заново, 120 дней. Безвизовых дней это не касается.