если уже подали заявление на загранпаспорт в России, но получить не успеваем, можно его будет получить в консульстве в Армении? Или это невозможно?

Думаю, что нет.

Приветствую! Я лично так делал. Можно. Но очень важно смочь записаться в консульство. На их сайте написано, во сколько они выставляют слоты. Обычно - это первое число, около 9 утра. И без шуток - нужно с пары устройств мониторить появившиеся слоты.