Планируем с девушкой лететь из Грузии в Казахстан по делам. Подскажите, будут ли какие-то вопросы в аэропортах Грузии и Казахстана? Могут ли вообще не пустить в Казахстан?

В Казахстан пустят. Про гражданство Вы забыли написать, но гражданам многих стран Казахстан предоставляет безвизовый въезд. Казахстанские пограничники и таможня задают (если задают) самые обычные вопросы, как и пограничники и таможенники других стран.