Подскажите пожалуйста, я приезжаю во Францию, шенген выдан под даты поездки на 10 дней. Могу ли я остаться во Франции на месяц, просрочив шенген и потом уехать в Португалию и подаваться в СЭФ ?

Ну если вы будетет сухопутными границами до Портунгалии добираться, то может быть. Но это будет незаконно и дело случая, так что лучше так не делать, я думаю. Это тоже самое, что выехать из Португалии в ожидании ВНЖ, возможно, но рисковано и стоит ли это того))