При перелете из Финляндии в другую страну шенгена, в аэропорту ставят штампы в паспорт? По прилёту в другую страну или перед вылетом из Финляндии?

Штамп ставят в той стране, из которой вы покидаете шенгенскую зону.

Не ставят (летал Хельсинки - Барселона). Штамп ставили при выезде - въезде в РФ.

Зависит какая страна. Внутри шенгена нет погран контроля, если вы вылетаете из шенгенской зоны, то ставят.