Если допустим мы прилетим и вопросом ВНЖ будем заниматься только на втором месяце прибывания, нам надо будет покинуть страну или пока оформляют документы можно находиться на территории?

Если вы записываетесь на рандеву для подачи документов (т. е. заполняете заявление) до истечения безвизовых дней, то все время ожидания рандеву уже считается легальным, даже если оно еще через 2 месяца.

Нет, с момента подачи заявления вы находитесь в стране легально.