Подскажите пожалуйста, в августе заканчиваются российские права, но правительство продлило их на три года. По ним можно в Финляндии ездить?

Судя по всему, на самих правах это продление никак не показано. Значит, нельзя: если попадёте на проверку, вы просто не докажете финскому полицейскому, что права ещё действуют. Он будет руководствоваться датой, указанной на правах.