Посоветуйте , что посмотреть , поесть в Батуми ?

Смотря сколько времени. Подняться на канатке, пройтись по бульвару от канатки вниз, хотя бы до башни ресторана Tower однозначно стоит, ну и вообще, архитектура интересная в центре, где площадь Пьяцца, кафедральный собор и т. д. Если времени больше - можно ехать на юг и потом на восток, в сторону села Хуло, лучше с экскурсией, там крепость Гонио, дальше всякие винзаводы, арочные мосты царицы Тамары, водопад, не помню как называется. Но можно и не маршрутке, только рекомендую почитать и распланировать маршрут. Ну а если еще больше времени - то ехать на экскурсию к Кутаиси, где каньоны Окаце и Мартивльский. Поесть - не знаю, у меня там времени есть не было, я везде мотался, поэтому питался всякими пирожками и хачапури на ходу. ТАм есть ресторан высокий, с панорамным видом, но я не пошел, не знаю как с ценами, но звучит интересно. Он рядом с колесом обозрения.