Вопрос о прописке. В июне мы семьей едем покупать квартиру в Беларусь. Квартира найдена уже. Вот как будет происходить регистрация/ прописка?

Не будет конечно

Подавайтесь на ВНЖ, там и регистрацию поставят

Дети получат ВНЖ с вами

В российский паспорт ничего ставить не будут. Российскую прописку можете оставлять, никто не требует выписываться из РФ. Купите квартиру, подадите на РПП (ВНЖ), когда его одобрят, сделаете в РСЦ постоянную регистрацию, снова пойдете в ОГИМ для получения id карты ВНЖ.