Впервые лечу в Стамбул, подскажите, пожалуйста, в каком районе лучше остановиться?

Думаю лучше будет поискать конкретно на ваши даты, на агрегаторах. Букинг, Экспедия, и т.п.

Бывало поживешь в одном отеле за нормальную цену, а в следующий раз смотришь его - цены заоблачные.

Поэтому лучше искать "в моменте", ну и, конечно, внимательно читать отзывы.

Мимо "главных" достопримечательностей идет трамвай Т1, так что иногда можно и не прямо рядом с ними взять, а где-нибудь вдоль этого маршрута (схему маршрута найти не сложно). Это может быть дешевле чем в "центре"