Скажите, пожалуйста, если в паспорте есть отметка о пересечении границы с Грузией, не возникнет проблема при въезде в Абхазию?

Во-первых, вы можете пройти границу по внутреннему паспорту. Во-вторых, абхазам всё равно, были вы в Грузии или нет. Они и на паспорт-то едва смотрят, только на первую страницу. Их больше интересует грузинская фамилия, тогда будут по базе проверять.