Подскажите, можно ли пересечь границу с Абхазией на автомобиле, если машина не на меня, но вписана в страховку?

Только по генеральной доверенности.

Страховка российская тут не работает, её вы можете вообще убрать, застраховать надо местную 1000р на 15 суток ,машина тоже не на меня,ничего не спрашивали ,проехал спокойно

Если собственник физ лицо, то на вас рукописная доверенность с пометкой на право выезда, плюс скан паспорта собственника. Может быть так, что таможня к вам вообще не подойдет