Подскажите пожалуйста если паспорт заканчивается 10 октября, а в Грузию планируем 18 сентября ехать на 12 дней. Проблем не возникнет на границе?

Не должно.

Но почему бы вам паспорт не поменять? Времени полно.

Возникнет

Вообще на многих таможнях не пускают, если срок действия паспорта заканчивается менее, чем через 6 месяцев, где то допускается 3. Вам просто как повезет по сути, но могут и не пустить и имеют на это полное право

У меня была подобная ситуация, я позвонил в пограничную службу и там сказали что нет проблем , главное выехат до истечения срока. Летал и правда проблем не возникло.