Скажите пожалуйста, а если мы доедем до границы с Монголией, то какие документы нужны, чтоб её проехать? Загранпаспорт? Страховка другая?

Какой налог? Загранники всем кто пересекает границу, страховку после пересечения там оформите, они вам будут махать, чтоб подъехали и оформили ОСАГО. Владелец авто должен быть в машине, неважно за рулем или пассажир( не все владеющие автомобилем владеют правами). Ах да, еще есть нюан с несовершеннолетними, только с родителями или опекунами, ну или нотариально заверенная доверенность на двух языках.

А где оформлять страховку? Что будет, если её нет? Сколько стоит и на какой срок?

@Даша: Когда пересекете там вам и оформят ОСАГО, но оно такое себе, чтобы им воспользоваться нужно уметь это делать. Дежурными номерами телефонов запаситесь лучше. Их ОСАГО это такой себе документ. Вам что с ним, что без него в случае ситуации ДТП не поможет.