Первый вопрос: могу ли я приехать и оформить карту банковскую, по пребыванию без визы в Сербии? 2.

начать точно стоит с srb . guide (это сайт). Там есть информация про открытие счета, поиск жилья, оформление внж.

Можете. идите в Альта Банк в Новом Белграде. Рынок жилья охладел - регулярно встречаются хорошие предложения. Процесс не затянут - если выйдете на владельца можете за несколько дней управиться.

По школе только опытом друзей могу поделиться - устроить ребенка в школу было довольно просто ребенку оформили внж по обучению и всей семье следом оформили по воссоединению.

Если вы планируете жить в Сербии продолжительное время, то детей лучше отдать в обычную сербскую школу.

Первое время с языком будет трудновато, но через несколько месяцев все пройдет и проблем нет будет.

Карту оформить можно. Зачем вам виза, вы не из РФ?

Вы с городом определились? Тут правила могут немного отличаться в разных районах страны.