Первый раз лечу в Сербию. Подскажите пожалуста: 1. Прочитала, что если в аппарты заезжаешь, надо идти в полицию регится?

Вас принимающая сторона должна зарегистрировать. Самостоятельно вы не можете это сделать.

По поводу этой регистрации (он же бели картон) обратитесь к принимающей стороне.

На границе у вас 99,9% не спросят про бронь из букинга или какого-либо другого сайта

Уточняйте где жить будете , вам могут сделать регистрацию онлайн. А могут не делать, но это нарушение и на них и на вас