Подскажите, если ребенку на момент отдыха в Абхазии исполняется 14 лет, нужно проходить по загранпаспорту, чтобы не было проблем?

Загранпаспорт это ваш единственный вариант.

В 14 у ребенка должен быть свой паспорт и загран. Будет Адмист. Если ребенку исполнится 14 за территории РФ. На это обратят внимание на границе и предупредят.

Да, по загранпаспорту.