Подскажите пожалуйста. Два билета одновременно вместе использовать нужно на турникете при поездке на синкансене или как?

Мы вставляли тикет в турникет, потом прикладывали Suica, забирали тикет из другого конца турникета и проходили

Да, сразу два билета всовывать. Один билет это базовый тариф (basic fare), второй - улучшение до экспресса.