Подскажите, можно ли садиться на поезд на станции Веселая?

Вполне реально, времени должно хватить, вы же хотите на московский поезд сесть? От жд вокзала Адлера до станции Веселое рано и утром минут за 10-15 можно доехать на такси. Пограничный досмотр вы пройдёте на станции, когда погранцы закончат досмотр в поезде, вас пропустят на посадку.