Чтобы получить карту в банке Казахстана нужно пересекать границу по загранпаспорту?

нет. Банк не проверяет факт пересечения границы, а на территории РК, действует и обычный паспорт.

Для беспроблемного получения карты нужно пересечь границу по загранпаспорту, т.к. штамп о пересечении границы ставится только в загран, во внутреннему паспорте нет места для этого. Можно заехать по внутреннему паспорту и обречь себя на борьбу с ветряными мельницами как Дон Кихот, но не забывайте что у него был преданный Санчо Пансо. Неисключено что при определённой настойчивости Вы сможете получить карту, но вместо 2-3 дней Вы потратите на это 2-3 недели и на каждом шагу будете доказывать что Вы не баран.

Нужно. Иначе придется брать справку о прохождении границы (даже не подскажу, кто именно ее выдает) плюс обязательно уведомление о прибытии иностранца (оформляет принимающая сторона).