Карту какого банка лучше открыть в Ташкенте, чтобы использовать загранице? Желательно бессрочную.

Бессрочных карт не бывает

Самое простое и удобное для вас (вы же нерезидент) - Капиталбанк.

Регистрация (обязаны делать в отеле, просите бумажку с qr-кодом, ПИНФЛ (можно либо на месте в любом ЦГУ или паспортном столе, либо заранее в РФ в посольстве/консульстве Узбекистана), нетуристическая узбекская симка.

Валютные карты получите в день обращения, местные (хумо/узкард) - как повезет, до 3х дней. Местные карты обязательно сделайте, будет легче деньги гонять.