Подскажите, а с общественной картой для транспорта (не метромани) можно ли подняться на фуникулере в Тбилиси ?

Нет. Нужна собственная

Картой метро можно оплатить только канатку к Черепашьему озеру.

На Мтацминду чтобы подняться придется покупать специальную зеленую карточку за 2 лари, на которую кладут деньги для покупки билетов: 12 лари на канатке от метро Руставели ( вагончики маленькие идут непрерывно) или 10 лари на фуникулере (вагоны поезда идут минут через 20, поэтому очередь больше). Верхние станции канатки и фуникулера находятся на Мтацминде в 80-100 м друг от друга. Туда же можно доехать и на городском автобусе за 1лари, кстати ( самый бюджетный вариант).