Если хочется остановится в Батуми, но в более спокойном и не шумном районе, где посоветуйте? Еще как добраться до ботанического сада? Болт может отвезти там, но как насчет вернутся обратно?

Насчёт тихого района не знаю.

До ботанического сада можно спокойно вызвать яндекс такси или bolt такси. Обратно возвращаться можно так же на такси, которые там уже ждут. Либо автобусы, которые часто туда-обратно ходят.

Летом? Новые бульвары да и то… не с выходом на море. Ну кстати - Вайт сайлс, но сильно не дешево будет. Махинджаури - но там скучно.

От главного входа автобус номер 10, от входа со стороны Чакви только такси или идти 1 километров до трассы и там сесть на маршрутку, которая едет из Чакви.

Мы жили на улице Парнаваза, было относительно тихо, но окна выходили во двор. https://www.booking.com/Share-ptuIYR

В этих апартах жили, было тихо.