В миграционной полиции в Казахстане по месту регистрации делают справку? И сколько по времени делается эта справка?

Раньше на месте выдавали. Поищите свежие кейсы.

Можете обратиться в любую миграционку, эту справку может получить даже сразу после самолёта человек без места жительства.

Насколько я знаю, справку о пересечении границы даёт департамент пограничной службы той области, где Вы эту границу пересекали.