Подскажите, нужно ли в Шанхае всегда носить с собой паспорт?

Носите. Лишним не будет.

Если захотите куда поехать или в проверяемую зону (где нужны билеты) войти 99% что попросят паспорт. Ну кроме парков, но как мне сказали местные проверки бывают часто, поэтому лучше носить