Как на счет Старого Батуми? Стоит туда ехать прогуляться? Или жить там?

если прочувствовать грузию то только туда, подальше от небоскребов , пляжи лучше, кафе ресторанов больше

Можно, зависит от бюджета.

можете так же карту открыть или смотреть варианты на агрегаторах.

Если вы не сидите в номерах, то разнице большой не будет.

Город небольшой, всё увидите. Только в старом будет атмосфера гулянок и пьянок, а в "новом" обычно вид на море и просторы, чуть меньше людей на квадратный метр на улице.