Подскажите, пожалуйста, можно ли зарегистрироваться через приложение ANZ / ANZ Plus по российскому номеру? Или вариант только покупать местную сим-карту в аэропорту и на нее регистрироваться?

Нельзя, они только по австралийскому номеру работают. И после оформления карты на российский номер тоже невозможно поменять, у них это прописано в правилах. Поэтому если вдруг потеряете доступ, то вероятнее всего и личному кабинету потеряете