Планируем провести неделю в Калининграде, обнаружили в различных гидах, что многие советуют посетить г. Советск, г. Железнодорожный и Неман(

Никаких проблем.

В города поехать можно, в городах не проверяют. Но из этих городов не стоит ехать дальше в сторону границы, а в Советске - заходить на мост)

Но в любом случае возьмите с собой российские паспорта.

Конкретно в эти города спокойно проедете. Есть приграничная зона, поищите запросом в гугле карту, вот туда нельзя без прописки, нужен пропуск, который делают заранее. Например, поселок Ясное или вдоль границы от Немана.

В эти города ничего не нужно. Но сегодня наткнулась на информацию, что все-таки и в Калининградской области, как и в Ленинградской, в совсем приграничных районах (не подскажу конкретно локации и где об них смотреть) действует ограничение, но можно через госуслуги оформить разрешение.