Подскажите, пожалуйста, какую оформить страховку, чтобы действовала сразу и если ты уже в Сингапуре?

Да любую наверно хоть Тиньков . Только действовать будет со следующего дня

У вас скорее всего потребуют штамп в паспорте с датой вылета из России, и если страховка была приобретена после вылета, то откажут в компенсации.