Съезжаем с квартиры в Сербии, нам хозяева пишут, что им нужна какая-то бумажка от полиции о том, что мы с их квартиры выписались, чтобы не быть у них зарегистрированными. Кто-нибудь знает, что это такое?

Принести новый БК, если переезжаете

Регистрация у Вас по ВНЖ или по БК - если второе - то не требуется, если первое - то при аннулировании ВНЖ она сама снимается. Но просто так выписаться "в никуда" при ВНЖ, увы, нельзя.

Ну и тут два варианта - без ВНЖ - это просто новый БК, с ВНЖ - это "уверенье о боравке" - там прописывается новый адрес, после того как Вы сделаете "уверенье о помене адреса"