Подскажите, пожалуйста, получать новый российский загранпаспорт в США можно в любом из трех консульств (Нью-Йорк, ДС, Ньюстон) независимо от того, в каком штате живу?

Узнайте в консульстве. Я видел, что у консульств есть консульские округа, включающие определенные штаты. Например, для DC это Айдахо, Аляска, Вайоминг, Вашингтон, Виргиния, Западная Виргиния, Гавайи, Северная Дакота, Южная Дакота, Делавэр, Джорджия, Калифорния, Кентукки, Северная Каролина, Южная Каролина, Мериленд, Монтана, Невада, округ Колумбия, Орегон, Теннеси, Флорида, Юта, Пуэрто-Рико, Американские Виргинские острова, Американское Самоа, Гуам, Северные Марианские острова. Для Нью-Йорка это Вермонт, Висконсин, Иллинойс, Индиана, Коннектикут, Массачусетс, Миннесота, Мичиган, Мэн, Нью-Гэмпшир, Нью-Джерси, Нью-Йорк, Огайо, Пенсильвания, Род-Айленд. Для Хьюстона это Айова, Аризона, Алабама, Арканзас, Канзас, Колорадо, Луизиана, Миссисипи, Миссури, Небраска, Нью-Мексико, Оклахома, Техас.

Формально штаты поделены между консульствами.

На практике получалось звонить и записываться, например, в Хьюстон хотя формально надо в DC.

У них нагрузка и доступность записи меняется часто. Звоните узнавайте.