Языковые курсы дают основание для получения ВНЖ Сербии? Сразу же или через какое-то время?

Дают право. Сразу

Не все курсы могут. Только аккредитованные где-то там.

Дают боравак на время обучения (до года)

Да, языковые курсы дают право на получение ВНЖ. В Нише, например, можно получить на первый год, а потом ещё продлить на следующий, но не во всех школах. В некоторых других городах есть требование, что дальше вы должны поступать в Университет, но не везде так.