Значит ли вообще что-то договор на аренду квартиры в Грузии? Имеет ли он реально какую-то силу или это просто для красоты и видимости надежности?

Если есть возможность сделать - лучшей делайте :)

По-хорошему он должен быть заверен, но даже незаверенный в случае чего является

1) Вашим аргументом в споре с арендодателем

2) Доказательством оказания арендодателем услуги.