Подскажите, пожалуйста, к примеру ко мне приезжает подруга из Нидерландов. Может ли она пойти к доктору в Германии по самообращению, за свой счет?

Если у нее есть голландская страховка, то по идее она должна действовать по всему ЕС. По крайней мере обязательные немецкие страховки действуют в любой стране ЕС

Как частный пациент - без проблем. Как неотложный случай - без проблем. Если медицинское обслуживание не является жизненно необходимым, то ест варианты, которые ей надо прояснить в Нидерландах. Потому что в Германии:

Im Ausland kommt Ihre gesetzliche Krankenversicherung lediglich für medizinisch notwendige Behandlungen auf, wenn diese nicht bis zu Ihrer Rückkehr nach Deutschland aufgeschoben werden können. Dies gilt sowohl für Medikamente als auch für ärztliche Behandlungen oder Operationen.

Ещё есть с некоторого времени Europäische Krankenversicherungskarte, что на самом деле также страховая карточка, но для использования в ЕУ , не знаю, что там ещё записано...у нас обычная карточка работала по всему ЕУ.

Страховка медицинская нужна! В зависимости от страховой компании могут принять без проблем.