Кто подскажет, при перелете в Индию через Шарджу багаж нужно получать? И проходить паспортный контроль?

Если летите одной авиакомпанией, например Эйр Арабиа, нет, багаж вам выдадут в конечном пункте, и паспортный контроль проходить не надо (если не выходите в город из аэропорта, а просто меняете гейт). Вам ещё при посадке на первый рейс дадут посадочные сразу на оба перелёта