Скажите, с автоматически продленными российскими правами согласно постановлению правительства можно ли ехать через Грузию в Армению ? Кто в курсе?

Нет! Просроченные права считаются недействительными во всех странах, кроме России.

Нельзя. Они продлены внутренним приказом МВД РФ, который действует только внутри РФ.