Возможно ли человеку с азербайджанской фамилией, но с российским гражданском приехать в Армению, пропустят ?

Не знаю, что такое азербайджанская фамилия, но если гражданство РФ, проблем не возникает. Однако, если на границе выяснят, что человек по национальности азербайджанец, допрос гарантирован.

Зависит от обстоятельств, но многочисленные вопросы гарантированы.